Research atlas · evidence through 2026-08-01

二维引力周期轨道与稳定解图谱：从二体椭圆到稳定三体轨道

从可解析的二体椭圆，到三体 8 字舞、Broucke–Hénon、自由落体族，再到限制性三体的 DRO 与四体编舞：按“生成机制 / 解族”完整梳理，并把“存在”与“稳定”严格分开。

用途 恒星实验室预设路线图物理范围 平面牛顿点质量引力证据 论文、作者数据库与 NASA/JPL
不是轨迹画册插图只表达拓扑。报告中的稳定性判断均回到 Floquet、变分证明或公开数值数据库。

Executive conclusion

结论：远不止 8 字舞，但没有一张有限清单能列完每一条轨道

学术上可完整梳理的是解族与生成机制。每个族还包含尺度连续体、质量延拓、偏心率分支、拓扑卫星和无限多个共振成员；因此，把数据库行数直接当成“种类数”会制造虚假的精确性。

01

可解析的骨架很少

二体 Kepler 椭圆、Euler 共线和 Lagrange 正三角中心构型是少数闭式骨架；绝大多数三体及以上周期解依靠变分存在证明与高精度数值延拓。

02

周期绝不等于稳定

论文只要证明状态在 T 后复现，就得到了周期解；只有 Floquet 乘子、非线性/KAM 论证或受控长期积分，才回答小扰动是否留在附近。

03

可玩的稳定预设很多

优先级最高的是 figure-eight、criss-cross、稳定 BHH/Schubart 邻域成员，以及 2025 数据库四个稳定岛；DRO 等需另建限制性三体模式。

∞理论成员数连续尺度、质量/偏心率延拓和共振卫星使有限枚举不可能。
135,445单一拓扑族的数值轨道2021 年对不等质量三体一个拓扑族的质量延拓样本。
13,315其中线性稳定同一研究按 Floquet 判据筛出的稳定成员，不代表 13,315 个机制。
971已复核稳定初值2025 年等质量、零角动量、Euler 半扭结截面的稳定无碰撞初值。
对“每一种”的处理

本报告把“种”定义为：能由同一中心构型、对称约束、拓扑词、延拓分支或限制性三体共振机制生成的一族解；表内尽可能列全主流家族，并单列重要命名成员。数据库中的每个缩放副本或近邻初值不重复计种。

Scope & vocabulary

先定义“二维”“周期”和“稳定”

同一条几何曲线可能在惯性系不闭合、在旋转系却是定点；同一周期解也可能一碰就散。报告用下列口径消除这两类歧义。

纳入

物理模型

  • 二维平面内的 Newton 点质量引力
  • 一般 N 体与质量为零的限制性三体
  • 无碰撞轨道和经正规化的碰撞轨道
  • 惯性系周期与旋转系相对周期
单独标记

边界情形

  • Schubart 等二体碰撞需正规化穿越
  • free-fall/brake 解在半周期速度归零并回溯
  • 中心构型的抛物/双曲同形解不是周期
  • 稳定常只在特定质量、能量或偏心率区间成立
排除

不属于本报告

  • Halo、vertical、axial、Hip-Hop 等三维族
  • 仅准周期而不精确复现的轨道
  • 广义相对论、潮汐、有限半径与耗散
  • 非引力的点涡、库仑和对数势模型
A

严格存在

解析公式或变分/拓扑定理证明解存在；不自动推出稳定。

B

严格稳定

线性谱、Lyapunov 或计算机辅助 KAM 证明；需写清扰动空间和参数。

C

高精度数值

多精度闭合误差、Floquet 单值矩阵及独立复核；是数据库主力证据。

D

有限时实用

游戏步长下长期看似不散，只是工程证据，不能倒推数学稳定。

保守系统不会“自动归位”

纯 Newton Hamilton 系统没有耗散，因此这里的稳定通常是轨道稳定/邻域稳定：扰动后的轨道留在附近或落在邻近不变环面上，而不是像带摩擦系统那样渐近吸引回原轨道。

Family taxonomy

一张图看懂二维周期解从哪里来

主干不是按“长得像什么”分类，而是按动力学约束：可积二体、中心构型同形、一般三体拓扑、限制性三体共振，以及 N 体对称变分。

二体 可积

  1. 负能量 Kepler 椭圆 圆为特例
  2. 退化径向碰撞椭圆 需正规化

中心构型 同形

  1. Euler 共线
  2. Lagrange 正三角
  3. 正 N 边形 / Maxwell 中心质量环
  4. 一般中心构型的圆形、椭圆形同形运动

一般三体 拓扑

  1. Schubart ↔ BHH/retrograde
  2. figure-eight 简单编舞
  3. Butterfly / Moth / Yarn / Yin–Yang 等
  4. 拓扑卫星与代数序列
  5. free-fall / brake 族
  6. 质量延拓与非层级不等质量族

限制性三体 旋转系

  1. L1–L3 平面 Lyapunov
  2. L4/L5 short / long period
  3. DRO、DPO、LPO 卫星族
  4. p:q 对称/非对称共振
  5. tadpole / horseshoe 的周期中心
  6. 稳定双主星 cycler

四体 对称变分

  1. super-eight
  2. star-pentagon 稳定编舞
  3. simple / double choreography
  4. 非编舞对称周期支

N 体 无限族

  1. 规则多边形相对平衡
  2. 中心质量稳定 ring
  3. 一般循环/二面体对称编舞
  4. 从相对平衡分岔的链式与共振族

Closed-form backbone

解析骨架：二体椭圆与中心构型同形解

这些解提供最可靠的单元测试和尺度标定，但它们的稳定性依然有质量条件；尤其等质量正三角并不稳定。

Kepler 椭圆（两体）

两质量绕共同质心走相似椭圆，负总能量 E<0 时严格周期，圆轨道是偏心率 e=0 的特例；抛物和双曲支不周期。可积模型中是中性/轨道稳定而非吸引。NASA 基础推导

解析周期轨道稳定

Euler 共线同形族（三体）

任意正质量存在共线中心构型；圆形时刚性旋转，椭圆时三体沿相似 Kepler 椭圆缩放旋转。它是精确周期骨架，但圆形 Euler 相对平衡对平面扰动不稳定；近碰撞的椭圆支也出现双曲性。Hu–Ou

解析/定理一般不稳定

Lagrange 正三角同形族（三体）

任意三质量始终构成正三角，各自走相似圆/椭圆。圆支按 Gascheau–Routh 条件稳定：(m₁m₂+m₂m₃+m₃m₁)/(m₁+m₂+m₃)²<1/27；等质量的比值为 1/3，远超阈值，故不稳定。椭圆支还依赖偏心率。Roberts 2002

解析条件稳定

规则 N 边形与 Maxwell ring

等质量顶点以合适角速度刚性旋转，是相对周期解；但无中心质量的 Newton 引力规则 N 边形（N≥4）并不稳定。加入足够大的中心质量后，N>6 的 ring 可线性稳定，N≤6 始终不稳定。Vanderbei–Kolemen

精确相对平衡稳定需中心质量
中心构型 q ⇒ qᵢ(t) = r(t) · R(θ(t)) · qᵢ(0)。当 r 为常数得到圆形相对平衡；当 0≤e<1 得到椭圆相对平衡（周期）；e=1 或 e>1 对应非周期的抛物/双曲同形支。

Unrestricted planar three-body

一般平面三体：已知家族与稳定性证据总表

点击筛选可只看稳定、无碰撞或适合直接放进恒星实验室的条目。稳定标签只在论文给出 Floquet / KAM 或明确稳定区时出现。

解族 / 代表定义与约束周期性证据稳定结论碰撞实验室适配
Figure-eight三等质量、零角动量、简单编舞；三体相差 T/3 追逐同一 8 字曲线。严格存在

Chenciner–Montgomery 变分证明。

线性 + KAM

Roberts 证明 Floquet 线性稳定；Kapela–Simó 给出计算机辅助 KAM 结果。

无碰撞直接

当前引擎最佳基准。

Criss-cross等质量；每周期 8 次在共线与等腰构型间交替，常归入 retrograde/BHH 语境。周期解

Broucke/Hénon 数值发现，后续指标理论研究。

线性稳定

在论文明确的假设及数值检验下由指数理论证明。

无碰撞直接

下一批首选。

Schubart三体始终共线，中央体与两侧体交替二体碰撞；可作为 BHH 分支端点/组织中心。正规化周期

碰撞经 Levi-Civita 类正规化连续穿越。

质量区间依赖

相关族存在稳定区，但碰撞本身对物理模型敏感。

二体碰撞需新物理

“合并”会毁掉周期。

Broucke–Hénon–Hadjidemetriou（BHH）从 Schubart 延展出的 prograde/retrograde 分支，可有非零角动量；含 base orbit 与拓扑卫星。数值延拓

Hénon 完整族、现代 BHH continuation guide 与卫星目录。

稳定区段

retrograde 与 interplay 段包含稳定成员；须按具体初值复核。

多数无碰撞直接

选远离 Schubart 端点的稳定成员。

2013 命名轨道群Butterfly I/II/III/IV、Bumblebee、Moth I/II/III、Goggles、Dragonfly、Yarn、Yin–Yang I/II。高精度数值

15 组初值、13 条不同轨道，四个几何/代数对称类。

逐成员判断

命名本身不表示稳定；后续序列研究找到 21 个稳定成员。

无碰撞目录直接

只导入已验稳定初值。

代数序列与拓扑卫星按自由群词组织为 10 条序列；卫星常以基本词的 k 次幂表示，尺度不变周期近似随拓扑长度增长。数值目录

数百条零角动量、过等距共线截面的轨道。

21 条线性稳定

包含全部 6 个不同 progenitor；稳定母轨附近可出现更多卫星。

无碰撞直接
等质量 Euler 半扭结大目录初始位置 (-1,0),(0,0),(1,0)，外体速度 (vₓ,vᵧ)，中体速度 (-2vₓ,-2vᵧ)。695 族 / 更多续搜

2017 目录把 T≤200 范围扩至 695 个缩放族。

971 个稳定初值

2025 独立高精度库分成 S、Moth、Figure-8、Broucke 四个稳定岛。

无碰撞直接

最适合批量扩预设。

不等质量延拓族从等质量解连续改变质量比；可保持同一拓扑词但几何与稳定岛显著变化。数值 continuation

2018 目录 1,349 族；2021 单一拓扑族得到 135,445 条非层级周期轨道。

13,315 条线性稳定

为同一拓扑族的稳定成员数，不是独立机制数。

无碰撞直接

需支持不同质量精确比值。

Retrograde triple-star / action minimizers广泛质量条件下，两体相对运动与第三体呈逆行配置；包括层级和非层级形态。严格存在

Chen 证明多类质量下无穷多个 action-minimizing retrograde 解。

最小化不等于全谱稳定

具体分支仍需线性/KAM 判定。

可选无碰撞需具体初值
Free-fall / brake三体初速度全为零；到半周期再次全零，随后时间反演回到起点。12,409 个不同解

2023 等质量搜索给出 24,582 个初值，对应 12,409 条不同无碰撞周期解。

未普遍稳定

“会回放”不表示对初值扰动稳定。

筛选为无碰撞可演示

对积分误差极敏感。

表中“严格”针对论文证明的命题，不表示所有参数分支都稳定；“直接”表示普通二维全质量 Newton 积分器可表达，不表示低精度积分一定保周期。

What the catalogs actually count

目录数字很大，但量纲不同，不能相加

有的“family”把尺度副本合并，有的按拓扑词合并，有的只是一个闭合初值；报告保留原论文口径，并在同一行解释单位。

132013 不同命名轨道
15 组初值，四类对称
6952017 等质量“族”
Euler 半扭结截面，T≤200
1,3492018 不等质量族
其中 1,223 个新族
12,4092023 等质量 free-fall 不同解
由 24,582 个初值去重
9712025 可复核稳定初值
四个稳定岛，不等于 971 个拓扑族

2013 原始命名表的 13 条不同轨道

Butterfly IButterfly IIBumblebeeMoth IMoth IIButterfly IIIMoth IIIGogglesButterfly IVDragonflyYarnYin–Yang IYin–Yang II

注意：Yin–Yang I/II 各给出过两组会穿过同一初始截面的初值，但对应同一条几何/拓扑轨道；这正是“初值行数 ≠ 轨道种数”的实例。Šuvakov–Dmitrašinović 2013

Planar circular restricted three-body problem

限制性三体：另一套非常丰富、但物理假设不同的二维周期族

两个主质量做圆周运动，第三体质量视为零，不反作用于主星。轨道通常在与主星共转的坐标系闭合；直接塞进“所有恒星相互作用”的引擎会改变问题本身。

L1 / L2 / L3 平面 Lyapunov

从三个共线平衡点分岔的小振幅平面周期族，可继续到大振幅并发生分岔。共线点及其典型 Lyapunov 族高度不稳定，但作为流形运输骨架很重要。

周期族通常不稳定

L4 / L5 short-period 与 long-period

围绕三角平衡点的两个线性模态延拓成平面周期族。只有主星质量比低于 Routh 阈值时平衡点才稳定，具体族还随 Jacobi 常数改变稳定性。

参数条件稳定

DRO：distant retrograde orbit

绕次天体的远距离逆行族（Hénon C family），拥有宽广稳定段，NASA/JPL 有多系统初值。它是给新模式增加“肉眼明显稳定轨道”的首选。

稳定段宽JPL 数据

DPO / LPO：prograde satellite families

顺行卫星轨道分支，JPL 目录按 DPO、LPO 及东西支组织。稳定性比 DRO 更碎片化，需按目录的 stability index 逐条筛。

成员依赖

p:q 共振、对称与非对称分支

围绕主星/次星的运动周期与双星周期成整数比；每个 p:q 又可有 prograde/retrograde、内部/外部、对称/非对称与倍周期支，因此天然是无限索引族。

无限共振索引稳定岛

Tadpole / horseshoe 的周期中心

“蝌蚪”和“马蹄”通常泛指一片准周期共轨区域；只有共振岛中心及闭合支是严格周期。不能把整片共轨运动都计为周期解。

需区分准周期

碰撞与 regularized satellite 族

经过二体碰撞的分支可用 Levi-Civita 变换延拓成数学周期解；有限半径天体则会撞毁，因此只适合“数学模式”。

需正规化

稳定 prograde cycler（2026）

最新数值预印本报告双主星之间交替暂时捕获的顺行周期 cycler，每个所算家族都有同时抵抗平面和离面扰动的稳定子支；这是前沿结果，尚不应写成普适定理。

2026 预印本数值稳定支

明确排除的 3D JPL 家族

Halo、vertical、axial，以及 JPL 命名的 butterfly / dragonfly 是空间族，不属于本报告。它们与一般三体的 Butterfly / Dragonfly 只是同名，不是同一解。

非二维
NASA/JPL 可作为直接数据源

Poincaré Catalog API 提供系统质量比、旋转系初始状态、周期、Jacobi 常数和 stability index；JPL 定义该指标 ≤1 为轨道稳定。对 Stellar Lab，建议单建“CR3BP 模式”，固定两主星圆运动并把第三体设为无质量示踪体。

Four bodies and beyond

四体及 N 体：编舞、双编舞与相对平衡分岔

N 增大后不再有可穷举的命名表。最完整的描述是按对称群和生成方式：一个闭合曲线上的简单编舞、多条曲线的多编舞、非编舞对称周期支，以及规则相对平衡的分岔族。

Super-eight（四体）

四个等质量体追逐一条“超级 8 字”曲线。Gerver 数值发现，Shibayama 用变分法证明无碰撞周期解存在；存在证明不等同于稳定，因此这里不标稳定。Shibayama 2013

严格存在稳定未随证明给出

Star-pentagon（四体稳定编舞）

四体沿五角星形轨迹的简单编舞，不是“五颗星放在正五边形顶点”。Ouyang–Xie 的对称边值构造给出一族，并报告其中 star-pentagon 线性稳定。Ouyang–Xie 2013

线性稳定成员非正多边形视觉

Simple / double choreography

简单编舞让所有体错相追逐同一曲线；双编舞分为两个相位组追逐两条曲线。四体对称路径空间可产生无穷周期支；当端点旋转角与 π 可公度时周期，不可公度时只准周期。质量延拓研究

无限周期支稳定逐支判断

非编舞对称四体族

同一边界值框架还给出形状周期但不共享单一轨迹的四体解，可包含 m₁=m₃、m₂=m₄ 的不等质量连续体；它们补足“周期不等于编舞”。

连续质量族

规则多边形与中心质量 ring

任意 N 的等质量规则多边形是精确相对平衡，却正是用户不希望作为主要预设的视觉类型；无中心质量时 N≥4 不稳定。加中心质量可在 N>6、中心质量足够大时稳定，并从中分岔出平面周期支。

完整性纳入视觉优先级低

一般平面对称编舞（任意 N）

循环群/二面体群约束产生两类无限对称族与若干奇数 N 例外对称类；变分法证明大量无碰撞解存在。数值搜索表明多数复杂编舞不稳定，因此“存在很多”不意味着“稳定很多”。对称分类

家族级存在多数数值不稳定

How to read stability claims

四级稳定性，不要混成一个“稳定”开关

对于保守引力系统，最有用的是 Floquet 谱和 KAM 邻域。一个轨道闭合到 10⁻¹²，只证明周期残差很小；它仍可能有一个略大于 1 的乘子，经过数百周期后发散。

I

谱 / 线性稳定

去掉时间平移、旋转等平凡乘子后，所有非平凡 Floquet 乘子在单位圆上且没有致命 Jordan 块。最常见的目录筛法。

II

非线性轨道稳定

充分小扰动在所有时间保持接近某个相位平移/对称副本；比线性谱更强，往往需要高阶正规形。

III

KAM 稳定

周期轨道周围存在正测度不变环面；扰动后通常变成邻近准周期运动而不是回到原轨道。Figure-eight 有计算机辅助结果。

IV

实用数值稳定

在给定积分器、步长、浮点精度和运行时长下保持有界。适合产品验收，但必须附带测试条件。

周期残差：‖X(T) − X(0)‖　｜　Floquet：δX(T) = M(T)δX(0)，检查非平凡 spec(M)　｜　工程：同时记录 ΔE/E、ΔL、质心漂移、相位误差与最小星间距。
碰撞合并不是正规化

Schubart 等碰撞周期解在数学上让点质量“穿过碰撞”并继续；当前恒星合并会把两个体变成一个体，周期轨道立刻终止。若要收录碰撞族，需要专门的二体碰撞正规化或明确标成不可仿真。

Stellar Lab roadmap

给“恒星实验室”的扩展顺序

现有 12 个稳定预设主要覆盖 figure-eight 稳定岛和 Moth 区域。下一步最有价值的不是堆更多相似 8 字，而是覆盖不同生成机制与质量结构。

P0

直接扩充全质量、无碰撞、稳定三体

加入 criss-cross、稳定 BHH retrograde 成员，并从 2025 的 S / Moth / Figure-8 / Broucke 四个稳定岛各抽取形态差异最大的若干初值。每个预设附 period、质量、归一化能量、Floquet 来源和推荐最大时间步。

P1

加入不等质量稳定族

从 2021 的 13,315 条稳定质量延拓样本选取 1:1:x、层级边界和明显非层级的代表。这样玩家能看到“同一拓扑随质量变化”的连续形变，而不是只看等质量轨道换颜色。

P1

四体：star-pentagon 与 simple/double choreography

优先 star-pentagon 稳定成员；super-eight 仅作“严格存在但未保证稳定”的研究型预设。四体对性能几乎无压力，却能显著扩大视觉语言。

P2

新建 CR3BP 模式

固定两主星为精确圆形二体解，第三体不参与反作用，从 JPL API 导入 DRO、L4/L5 short/long 与 resonant 稳定记录；UI 明示“测试粒子质量为零、坐标可切换惯性/共转系”。

P3

正规化碰撞模式

只有实现 Levi-Civita / KS 类近碰撞处理后再开放 Schubart 和 collision family；与“恒星合并”互斥。否则应明确排除，避免把数值爆炸误认为轨道不稳定。

导入验收

  • 至少 100–1000 个标称周期
  • 周期残差和能量漂移分别记录
  • 对位置/速度加 10⁻⁸–10⁻⁴ 多档扰动
  • 关闭合并后验证最小距离

数值策略

  • 稳定预设使用自适应/细分时间步
  • 近接触按局部动力学时间缩步
  • 轨迹绘制与物理积分解耦
  • 长期模式考虑高阶辛积分或 Bulirsch–Stoer

预设元数据

  • frame：inertial / rotating
  • model：full / restricted / regularized
  • evidence：proof / Floquet / numerical
  • stability：参数区间与文献链接

Primary sources & datasets

一手来源索引

优先列论文原文、作者数据库与 NASA/JPL 官方目录；来源截至 2026-08-01。报告未用百科或媒体文章支撑稳定性结论。

研究边界

“目前学术界所有个体轨道”是开放且持续增长的对象：新搜索会不断增加数据库，Birkhoff–Lewis/变分机制又可产生无限成员。本报告追求的是截至日期的家族级完备性，并对个体数量采用论文原口径，不声称封闭枚举。