Relaxed closure atlas · evidence through 2026-08-01

放宽闭合条件后的二维稳定引力系统：漂移、进动、相对周期与准周期图谱

当“不必回到屏幕上完全相同的位置”成为允许条件，真正新增的不是质心漂移，而是旋转后复现、拱线共同进动、共振角振荡以及多频率准周期运动。

范围 纯二维 Newton 点质量比较基线 严格周期解报告用途 恒星实验室新预设与判稳方式
两种运动、两种物理含义蓝箭头是可消去的质心漂移；多重椭圆是内部自由度产生的拱线进动。

Executive conclusion

结论：放宽“闭合”会从少数轨道曲线，扩展为巨大的稳定相空间

严格周期轨道是稳定结构的“骨架”；一旦允许旋转、共同进动或多频率不闭合，骨架周围的 KAM 环面、层级系统和共振岛都可纳入。最重要的区别是：整体平移只换观察系，内部进动才增加动力学内容。

01

统一平移：0 个新家族

孤立系统质心只能匀速直线运动。给任一旧解叠加速度 V，内部距离、稳定性和碰撞全部不变。

02

旋转后复现：连续新分支

许多轨道在旋转系周期、在惯性系只相对周期；只有旋转频率与内部频率有理比时才重新成为严格周期。

03

准周期稳定：增量最大

层级三体、共轨、行星共振和世俗模态通常含两个以上不可公度频率，永不精确重演却可长期有界。

0平移产生的新内部族Galilean boost 只改变质心位置与总动量。
∞KAM 准周期邻域每个合适的椭圆稳定周期核周围都有连续不变环面候选。
2N−2慢快行星—卫星族下界特定平面 N+1 体层级模型中至少这么多平滑相对周期族。
24同轨地球质量体的数值示例2023 模拟中最多 24 颗等质量地球可在 1 au 马蹄构型共轨数十亿年。
对“比较稳定”的定义

本报告接受三类证据：严格/KAM 邻域稳定、线性稳定周期核周围的规则岛，以及明确时间尺度下半长轴与层级关系保持。仅仅“这次积分没飞走”仍会标为有限时数值稳定。

Four closure levels

“往一个方向移动”和“进动”不是同一件事

以下四种闭合关系从弱到强地改变观察方式。前两种仍可在适当坐标系中严格闭合；后两种不要求状态精确回归。

q(t+T)=q(t)+VT

平移相对周期

去掉质心匀速后就是原严格周期解。视觉上整团漂移，动力学没有新增。

坐标变换
q(t+T)=R(θ)q(t)

旋转相对周期

一个内部周期后，形状复原但朝向转过 θ；可再包含天体置换。

真正新增
q(t)=F(ω₁t,…,ωₖt)

准周期

多个不可公度频率在 k 维环面上运动，永不精确复现但保持有界。

真正新增
a≈const, ϖ̇≠0

世俗稳定 / 进动

短周期轨道叠加慢速拱线进动，平均尺度保持，角度可循环或锁定。

时间尺度依赖
“整个系统朝一个方向”不是岁差

天文学中的 apsidal precession 是椭圆长轴方向 ϖ 缓慢旋转；质心平移是 RCM 改变。前者由内部扰动产生，后者可通过换到质心系完全消去。

Galilean translation

为什么匀速漂移不会增加任何内部解

这一点不依赖近似。Newton 内力成对相消，所以孤立系统总质心没有加速度。

质心方程

M R̈ = Σᵢ mᵢ r̈ᵢ = ΣᵢΣⱼ≠ᵢ Fᵢⱼ = 0

因此 R(t)=R₀+Vt。这里的 V 是任意常向量。

相对坐标不变

sᵢ = rᵢ − R　⇒　|sᵢ−sⱼ| = |rᵢ−rⱼ|

所有距离、势能、内部角动量、周期和 Floquet 稳定性不受 V 影响。

会变化

屏幕坐标、总动量、质心轨迹、离屏删除时间、相机跟随。

不会变化

星间距离、内部轨迹形状、碰撞时刻、合并结果、内部稳定性。

产品价值

可以成为“漂流星团”视觉模式，但不应在预设分类里算作新物理解。

Increment atlas

相对严格周期报告，真正新增哪些系统

使用筛选器可只看适合现有全质量引擎、稳定证据较强或视觉变化明显的类别。

系统族为什么此前被排除放宽后的运动稳定依据新增性Stellar Lab
所有旧周期解 + 统一漂移绝对坐标 T 后不相同。质心匀速，内部仍严格周期。与母轨完全相同。0 个新内部族直接

需相机跟随与质心相对剔除。

旋转相对周期 / traveling-wave choreography惯性系一个内部周期后整体转过角 θ。在共转系周期；频率有理比时才在惯性系闭合。由相对平衡的 Lyapunov 分岔与数值延拓给出；稳定逐支判定。连续新分支需旋转闭合检测
稳定周期核周围的 KAM 准周期环面多频率不可公度，永不精确复现。在不变环面上长期有界；形状近似母轨并缓慢拍频。Lagrange 谱稳定质量区有测度稳定/KAM 结果；figure-eight 等亦有辅助证明。无穷连续体直接

不能再用回归误差判失败。

层级三体：内双星 + 外伴星内外周期通常不可公度，拱线还会缓慢进动。两个嵌套 Kepler 轨道叠加世俗交换；可 prograde 或 retrograde。层级分离、半长轴保持与经验/半解析稳定边界；混合区需直接积分。大规模新增直接

需要多时间尺度积分。

非共振世俗 Mode I / Mode II每颗行星按不同快频率运行，整态不闭合。两条拱线对齐或反对齐并以共同平均速率进动。平均 Hamiltonian 的稳定平衡；远离轨道交叉和强平均运动共振。稳定进动核心直接
平均运动共振 + ACR惯性系轨迹通常只近重复，拱线持续转动。p:q 共振角与拱线差在 0、π 或非对称角附近振荡。稳定旋转系周期核周围存在规则相空间岛；2:1、3:1、3:2、4:3、5:2、4:1 等均有研究。无限 p:q 索引直接
1:1 共轨：tadpole / horseshoe / quasi-satellite天体互换相对位置或围绕共振中心振荡，绝对轨迹不按单周期闭合。共享平均半长轴；包括 L4/L5 蝌蚪、马蹄、准卫星和偏心共轨。质量比、偏心率与最近接距离决定稳定岛；马蹄一般比蝌蚪苛刻。多种新几何直接
三行星/卫星共振链多个快周期与慢 Laplace 角并存。1:2:4、1:2:3、4:6:9…；可由相邻二体 MMR 或纯三体角锁定。平面四体已找到稳定周期核；1:2:3 的稳定支集中在低偏心率。N≥4 新家族直接
行星—卫星慢快相对周期族“年”和“月”频率不同，绝对整态通常不闭合。旋转系中的对称相对周期；层级质量与距离。特定模型严格证明至少 2N−2 个平滑两参数族，并给出部分线性轨道稳定条件。指数级族数需分层步长
S-type / P-type 双星行星轨道行星椭圆受伴星扰动而进动，不是二体闭合椭圆。S-type 围单颗星，P-type 环双星；逆行稳定区通常延伸得更近。数值稳定图与共振重叠分析；边界取决于双星质量比和偏心率。层级子类直接
更高层级 2+2 / 3+1 多星系统包含三个以上不可公度轨道频率和多重进动。嵌套二体/三体子系统长期保持层级。可逐级应用三体边界作初筛，但四体耦合意味着不能把三体公式当成证明。结构新增需长期验算
Sticky / 弱混沌长寿命轨道非周期且 Lyapunov 指数为正。在稳定岛边缘停留很久，最终可能扩散、碰撞或逃逸。只有有限时间寿命，不属于严格稳定。可纳入演示不标“稳定”

“强稳定证据”指存在 KAM/测度稳定结论、稳定平均平衡或明确稳定周期核；并不保证任意质量和偏心率都稳定。

Relative periodicity

旋转后复现：在严格周期和准周期之间

相对平衡是形状完全不变的极端；Lyapunov 分支让形状周期振荡，同时参考系持续旋转。两个频率的比值决定惯性系是否最终闭合。

多边形相对平衡附近的平面 Lyapunov 分支

N 体规则多边形在旋转系是平衡点；从其振动模态分岔出连续的平面周期族。N=7、8、9 已数值展示多条分支。虽然母多边形本身视觉普通，分支形状可以非常不规则。Calleja–Doedel–García-Azpeitia

相对周期稳定逐支

有理与无理频率比

若内部频率与旋转频率为 ℓ:m 有理比，若干周期后在惯性系也闭合，并可能形成 choreography；若为无理比，轨迹铺展在环面上，成为相对准周期。论文证明沿相应 Lyapunov 族存在稠密的 choreography 集。

有理比：闭合无理比：新增

Lagrange 相对平衡的 KAM 邻域

当三质量满足谱稳定条件并避开六个特殊共振情形，Lagrange 正三角相对平衡在测度意义下稳定，附近有大量 KAM 不变环面与准周期解；其相对测度趋近 1。Yu 2019

测度稳定KAM

稳定编舞周围的拍频轨道

Figure-eight、star-pentagon 等椭圆稳定周期轨是相空间组织中心。邻近初值通常不再严格画同一条曲线，而在多个频率间拍频；四体 SPBC 工作还证明有不可数准周期解。Ouyang–Xie

不可数准周期近母轨
旋转相对周期：q(t+T)=R(θ)q(t)。若 θ/2π=m/ℓ∈ℚ，则 q(t+ℓT)=q(t)；若 θ/2π∉ℚ，惯性系轨迹通常不闭合而在环面上稠密。

Hierarchical systems

层级系统是放宽条件后最自然的“稳定恒星系”

两颗近距天体形成内双星，第三体绕它们的质心做远距轨道。内外半长轴近似保持，但偏心率与拱线方向在更慢时间尺度上交换和进动。

Coplanar prograde triple

内外轨道同向。只要外轨道近心点与内轨道远心点留出足够层级间隔，可长期稳定；靠近边界时平均运动共振造成锯齿状稳定/不稳定混合。

常见边界混合

Coplanar retrograde triple

外伴星相对内双星逆行。逆行共振阶数更高、相遇几何不同，通常能比同参数顺行轨道更靠近而保持稳定。

稳定区更宽视觉鲜明

Apsidal circulation / libration

两条椭圆长轴可以持续相对转动，也可围绕对齐或反对齐状态振荡。平面系统没有倾角 Kozai 翻转，但仍有丰富的偏心率—拱线世俗动力学。

纯二维
判稳不是一条绝对直线

广用的 Mardling–Aarseth 类边界可作初筛，但新研究强调临界附近存在“混合区”：相同分离比可同时出现稳定和不稳定初值。2025 年等质量共面研究发现，稳定轨道的短期频谱更规则，可作为补充分类特征。Hayashi et al. 2025

Resonance & precession

共振保护：轨道会进动，却刻意避开危险相遇

平均运动共振锁的是角度组合，不是每颗天体的绝对位置。稳定周期轨在旋转系充当岛中心，邻近轨道以共振振荡和拱线进动实现相位保护。

ACR：对齐、反对齐与非对称

2:1 与 3:1 共振中存在三类主要 stationary families：拱线对齐、反对齐和非 0/π 的非对称锁定；可稳定的质量比和偏心率区间不同。Beaugé–Ferraz-Mello–Michtchenko

稳定核共同进动

更广的 p:q 共振网

一般三体旋转系研究已覆盖 4:3、3:2、5:2、3:1、4:1 等族；稳定周期轨附近得到长期规则区，不稳定周期轨附近往往连接混沌扩散。Antoniadou–Voyatzis

无限整数索引

1:1 共轨四种主要几何

近圆时主要为 L4/L5 tadpole 与 horseshoe；偏心增大后出现 quasi-satellite 与 anti-Lagrange/偏心共轨。马蹄稳定对质量比和最近接更苛刻。Laughlin–Chambers

视觉差异大参数敏感

Laplace 与多行星共振链

三颗行星可由相邻两组 MMR 锁成 1:2:4 或 1:2:3，也可只有三体 Laplace 角振荡。平面一般四体研究在 1:2:3 链找到低偏心率稳定周期核。Antoniadou–Voyatzis 2022

N≥4相位保护
示例 2:1 ACR：θ₁=λ₁−2λ₂+ϖ₁，θ₂=λ₁−2λ₂+ϖ₂。若 θ₁、θ₂ 均振荡，则 Δϖ=ϖ₂−ϖ₁ 也振荡；两条拱线可共同进动而相对关系保持。

A spectrum, not a switch

放宽之后，稳定必须带上时间尺度

严格周期核、KAM 环面、世俗稳定和 sticky chaos 看起来都可能“很久不散”，但它们可承诺的时间范围完全不同。

KAM / 测度稳定

不变环面阻挡扩散；扰动后保持准周期。

最强新增类
稳定周期核邻域

Floquet 椭圆周期轨周围通常有规则岛，但共振缝隙仍可能存在。

强
世俗 / Hill 稳定

层级和半长轴长期保持；不一定保证每个角度或偏心率小幅变化。

条件强
频率稳定

前后时间窗的主频漂移很小，适合数值分类准周期与慢混沌。

数值
有限时有界

在 10⁴、10⁶ 或 10⁹ 个周期内不逃逸；只对声明的时间窗有效。

时间窗
Sticky chaos

长时间粘在稳定岛边缘，最终可能扩散。

不应标稳定
推荐工程指标：ΔE/E、ΔL/L、质心加速度、半长轴漂移 max|Δa/a|、最小星间距、层级比 Q、共振角振幅、拱线差振幅、两时间窗频率扩散率。

Stellar Lab roadmap

恒星实验室需要改变的不只是预设列表，更是“成功”的判定方式

严格周期可以看回归误差；进动与准周期必须观察不变量、共振角和频率漂移。下面按实现成本排序。

P0

质心漂移与跟随相机

增加“系统初速度”二维向量；物理层只给所有星叠加 V。离屏删除改用相对质心坐标，否则稳定漂流系统会被整团删掉。UI 明示“这是观察系变化，不是新轨道”。

P0

旋转闭合检测

比较 X(T) 与经过最佳刚性旋转、平移和同质量天体置换后的 X(0)，同时输出最佳 θ/T，区分严格周期、相对周期与仅近似回归。

P1

首批进动预设

加入共面层级三体顺行/逆行各一组、非共振 Mode I/II、2:1 ACR 对齐/反对齐，以及 1:1 tadpole、horseshoe、quasi-satellite。它们在现有全质量引擎中都可表达。

P1

新增轨道要素与慢角显示

实时估算 osculating a、e、ϖ、平均经度 λ；绘制 Δϖ、共振角和半长轴漂移。否则玩家只能看到轨迹变粗，无法分辨稳定进动与数值误差。

P2

多时间尺度积分

层级系统的“月/年”周期差很大。采用分层子步长、近接触缩步或高阶辛方案；轨迹采样频率必须与物理步长解耦。

P2

共振链和 planet–satellite 模式

加入 1:2:4 与 1:2:3 低偏心率链、行星—卫星慢快族。预设元数据保存参考系、目标共振角、证据时间窗与允许的频率漂移。

建议的新状态标签

严格周期 / 相对周期 / KAM 候选 / 共振保护 / 层级稳定 / 有限时稳定 / sticky。

建议的相机模式

惯性系、质心跟随、固定旋转率、自动拱线跟随。不同模式展示不同闭合关系。

不应承诺

没有 Floquet/KAM 或长期频率分析时，不把“运行几分钟没散”写成学术稳定。

Primary sources

一手论文与证据索引

来源截至 2026-08-01。基础质心推导直接由 Newton 第三定律给出；新增解族与稳定性结论均链接论文或期刊原文。

报告边界

未纳入三维倾角进动、Lidov–Kozai 翻转、广义相对论进动、潮汐和气体盘耗散。它们会进一步扩大稳定/准稳定类型，但已超出“2D 纯 Newton 点质量”的问题。